[Leetcode]Longest Increasing Subsequence

Problem

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

Example:

Input: [10,9,2,5,3,7,101,18] Output: 4 Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.

Note: There may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length. Your algorithm should run in O(n2) complexity. Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

Solution

dp

使用动态规划。题目要求求解-最长递增子序列。子序列说明数字之间不要求必须连续,或者说位置邻接,可以是不同位置的几个数字构成的序列,但是各个数字之间的先后关系不能改变。

动态规划的解法是:首先初始化一个dp数组,dp[i]表示到第i个位置为止(包含第i个元素)的最长递增子序列的长度。那么它的状态转移方程怎么定义?dp[i]应该是从头到第i个元素依次遍历,如果nums[j]小于当前元素numsi,那么dp[i] = dp[j]+1(元素nums[j]再加上当前元素nums[i],因为nums[i]大于nums[j]),每次更新dp[i]时取最大值。最终结果长度取dp[i]的最大值。具体代码如下:

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class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.empty()) return 0;
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int res = 1;

for (int i=1; i< nums.size(); i++){
for (int j=0; j<i; j++){
if (nums[i] > nums[j])//在当前元素前,遍历所有小于当前元素的dp[j]+1,取最大值作为当前dp[i]
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
res = max(res, dp[i]);
}

return res;
}
};

another

因为题目进一步要求时间复杂度改进到O(nlogn). 这里使用一个辅助数组ends,表示到第i个元素为止的递增子序列。ends数组的维护过程:

  • 当前元素nums[i]如果小于end[0],使用nums[i]替换ends[0];
  • 当期元素nums[i]大于ends.back(),将当前元素nums[i]存入数组中;
  • 否则(当前元素大于数组头,小于数组尾),因为ends数组是一个递增子序列(递增数组),使用二分查找,在ends数组中找到第一个大于等于nums[i]的元素,然后用nums[i]替换掉它

这样,元素遍历完成后,ends数组的长度就是最长递增子序列的长度,因为最长递增子序列不一定只有一个,ends数组最终结果一定是其中的一个解。

不容易想到

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class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.empty()) return 0;
vector<int> ends{nums[0]};

for (auto num: nums){
if (num < ends[0]) ends[0] = num;
else if (num > ends.back()) ends.push_back(num);
else{
int left = 0, right = ends.size()-1;
while (left < right){
int mid = left + (right - left) / 2;
if (ends[mid] < num) left = mid + 1;
else right = mid;
}
ends[right] = num;
}
}

return ends.size();
}
};
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